Řešení nelineárních rovnic
Příklad 1
Metodou půlení intervalu najděte jeden kořen rovnice pro .
Řešení
Tabelací funkce snadno zjistíme, že f(1) = - 3 a f(2) = 2. Protože f je na intervalu [1,2] spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen. Při jeho hledání budeme postupovat podle algoritmu uvedeného v
Protože podmínka je splněna, algoritmus ukončíme a položíme .
Příklad 2
Metodou půlení intervalu najděte jeden kořen rovnice pro .
Řešení
Tabelací funkce zjistíme, že f(0) = - 1 a . Protože f je na intervalu spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen. Při jeho hledání budeme opět postupovat podle algoritmu uvedeného v odkazu 1.
Protože podmínka je splněna, algoritmus ukončíme a položíme .
Příklad 3
Metodou půlení intervalu najděte jeden kořen rovnice pro .
Řešení
Tabelací funkce zjistíme, že f(0) = - 1 a f(1) = 2. Protože f je na intervalu [0,1] spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen. Potom
Protože podmínka je splněna, algoritmus ukončíme a položíme .
Příklad 4
Metodou regula falsi najděte jeden kořen rovnice pro k = 4.
Řešení
Tabelací funkce zjistíme, že f(0) = - 1 a f(2) = 1. Protože f je na intervalu [0,2] spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen. Při jeho hledání budeme postupovat podle algoritmu uvedeného v
V posledním kroku již nemusíme vyšetřovat znaménko . Položíme .
Příklad 5
Metodou regula falsi najděte jeden kořen rovnice na intervalu [ - 2,1] pro k = 4.
Řešení
Především je f( - 2) = - 1 a f(1) = 2. Protože f je na intervalu [ - 2,1] spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen. Při jeho hledání budeme opět postupovat podle algoritmu uvedeného v odkazu 3.
Položíme .
Příklad 6
Metodou regula falsi najděte jeden kořen rovnice na intervalu [0,3] pro k = 5.
Řešení
Platí f(0) = - 1 a f(3) = 9.08. Protože f je na intervalu [0,3] spojitá, má rovnice na tomto intervalu reálný kořen.
Příklad 7
Newtonovou metodou najděte jeden kořen rovnice na intervalu [1,2] pro a .
Řešení
Protože f(1) = - 0.28 a f(2) = 3.39 rovnice má na intervalu [1,2] reálný kořen. Dále je a a a jsou na intervalu [1,2] kladné. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody. Při hledání kořene rovnice budeme postupovat podle algoritmu uvedeného v
Předně je a proto položíme .
Protože již platí a současně , algoritmus ukončíme a položíme .
Příklad 8
Newtonovou metodou najděte jeden kořen rovnice na intervalu [1,2] pro a .
Řešení
Protože f(1) = - 1 a f(2) = 0.19, rovnice má na intervalu [1,2] reálný kořen. Dále je a . Tedy je na intervalu [1,2] kladná a je na tomto intervalu [1,2] záporná. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody. Při hledání kořene rovnice budeme opět postupovat podle algoritmu uvedeného v odkazu 5. Předně je , a proto položíme .
Protože již platí a současně , algoritmus ukončíme a položíme .
Příklad 9
Newtonovou metodou najděte jeden kořen rovnice na intervalu [1,2] pro a .
Řešení
Protože f(1) = 2 a f(2) = - 3, rovnice má na intervalu [1,2] reálný kořen. Dále je a . Tedy i jsou na intervalu [1,2] záporné. Jsou tedy splněny předpoklady Newtonovy metody. Protože , položíme .
Protože již platí a současně , algoritmus ukončíme a položíme .