Numerika
Aproximace funkce
Jednou ze základních úloh numerických metod matematické analýzy jsou aproximace reálných funkcí. Aproximovat funkci znamená nalézt vhodnou lineární kombinaci předem zadaných funkcí, která bude v jistém smyslu blízká zadané funkci a snadno se bude matematicky zpracovávat a bude vhodná pro počítačové zpracování. Pro řadu funkcí jsou tyto aproximace vytvořeny a jsou součástí matematických softwarů a běžně je používáme na počítačích i kapesních kalkulačkách.
My se budeme zabývat aproximací funkce f spojité na intervalu [a,b], která bude zadána analyticky nebo pomocí tabulky.
Interpolace funkce
Jednou z možných aproximací funkce je interpolační aproximace pomocí polynomů. Jejím cílem je nalézt polynom, který v daných bodech intervalu [a,b] má se zadanou funkcí stejné funkční hodnoty, případně hodnoty některých derivací.
Připomeneme některé vlastnosti reálných polynomů tedy polynomů s reálnými koeficienty a reálnou proměnnou. Nechť m je celé nezáporné číslo. Potom , kde , je polynom m-tého stupně. Tedy konstanta je polynomem nultého stupně, , je polynom prvního stupně, atd. Kořenem polynomu p rozumíme bod takový, že . Protože otázku násobnosti kořene nebudeme dále potřebovat, nebudeme se jí zde zabývat. Připomeňme si jednu z nejznámějších vlastností polynomů:
Věta 1. Nechť m je celé číslo, , p je polynomem m-tého stupně. Potom p má nejvýše m různých reálných kořenů.
Nechť n je přirozené číslo a platí , potom nazveme dělením intervalu [a,b] a body uzlovými body dělení. Jestliže , pak toto dělení nazveme ekvidistantní. Číslo nazveme diferencí (krokem) dělení.
Předpokládejme nyní, že funkce f je spojitá na intervalu [a,b] a je dělením tohoto intervalu. Nechť dále známe funkční hodnoty funkce f v uzlových bodech dělení.
Naším cílem bude sestrojit polynom p nejvýše n-tého stupně takový, že
(1)
Polynom p nazýváme interpolační polynom a ukážeme, že takový polynom existuje nejvýše jeden.
Důkaz. Předpokládejme, že existují dva polynomy p,q nejvýše n-tého stupně takové, že
Položme r = p - q. Potom r je polynom nejvýše n-tého stupně a platí
Tedy r nabývá alespoň v n + 1 různých bodech nulové hodnoty. Podle Věty 1 však polynom r může mít nejvýše n různých reálných kořenů. Musí tedy platit r = 0 a odtud p = q. ?
Podle způsobu konstrukce interpolačního polynomu nazýváme pak tento polynom Lagrangeův polynom nebo Newtonův polynom apod., jedná se však vždy o stejný polynom.
Lagrangeův interpolační polynom
Nechť je dělením intervalu [ a,b]. Řekneme, že množina polynomů nejvýše n-tého stupně je systém bázových polynomů odpovídající dělení , jestliže
(2)
Je zřejmé, že podmínku (2) splňují polynomy , jež jsou dány následujícími předpisy:
Víme, že polynom je polynom nejvýše n-tého stupně, který nabývá hodnoty 1 v alespoň n + 1 různých bodech . Tedy
(3)
Pomocí polynomů nyní sestrojíme polynom p
Tento polynom již splňuje podmínku (1), neboť
Podobně ukážeme, že .
Polynom p je hledaný interpolační polynom a můžeme tedy shrnout:
Tvrzení. Nechť je dělení intervalu [a,b], odpovídající systém bázových polynomů a f je spojitá funkce na intervalu [a,b]. Potom
je polynom nejvýše n-tého stupně a platí .
Newtonův interpolační polynom
V některých případech je výhodné hledat interpolační polynom funkce f ve tvaru
(4)
kde je dělením intervalu [ a,b] a jsou jednoznačně určené koeficienty takové, že splňuje interpolační podmínky (1). Takto zapsaný interpolační polynom se nazývá Newtonův interpolační polynom. Protože jsme již ukázali, že polynom splňující podmínky (1) existuje (Lagrangeův interpolační polynom) a to právě jeden, je zřejmé, že Newtonův polynom je pouze jiný zápis interpolačního polynomu, který jsme v předchozím případě zapisovali v Lagrangeově tvaru.
Pro určení Newtonova polynomu je tedy nutné nalézt koeficienty . Víme, že musí platit Postupným dosazováním do (4) dostaneme
Koeficienty dostaneme jako řešení této soustavy lineárních algebraických rovnic s trojúhelníkovou maticí soustavy. Tato soustava má právě jedno řešení.
Řešení této soustavy můžeme výrazně zjednodušit. Koeficienty v Newtonově interpolačním polynomu tvoří tzv. poměrné diference k-tého řádu v bodě , které se značí . Obecně se poměrné diference k-tého řádu v uzlu počítají pomocí rekurentního vztahu
kde