Numerika
Numerická integrace
Ukážeme si nyní, jak pomocí interpolačního polynomu v Lagrangeově tvaru můžeme přibližně vypočítat určitý integrál , kde f je spojitá funkce na intervalu [a,b].
Předpokládejme nejdříve, že je dána funkce g, spojitá na intervalu [ - 1,1]. Odvodíme postup pro výpočet přibližné hodnoty .
Nechť je nejdříve n = 1. Potom ekvidistantní dělení intervalu [ - 1,1] je a odpovídající bázový systém tvoří funkce , . Funkci g interpolujme polynomem prvního stupně
Protože a podobně , dostáváme
Nechť je nyní n = 2 a odpovídající ekvidistantní dělení intervalu [ - 1,1] je . Bázový systém tvoří funkce , , . Podobně jako v předchozím případě lze ukázat, že platí a . Odtud
Předpokládejme nyní libovolné , , ekvidistantní dělení intervalu [ - 1,1] a odpovídající systém bázových polynomů. Je zřejmé, že funkci g můžeme nahradit polynomem
a
(5)
kde . Čísla nazýváme váhy. Poznamenejme ještě, že z (3) vyplývá, že
a protože pracujeme s ekvidistantním dělením (grafy funkcí a , jsou navzájem symetrické podle osy y), dá se ukázat, že platí
Závěrem zdůrazněme, že hodnoty nezávisí na g.
Nyní opět předpokládejme, že a, b jsou libovolná reálná čísla, a f je spojitá funkce na intervalu [a,b]. Nechť a je odpovídající ekvidistantní dělení intervalu [ a,b]. Položme
Funkce t je lineární funkce, která zobrazí interval [a,b] na interval [ - 1,1]. Potom
kde g(t(x)) = f(x). Poznamenejme, že se zobrazí na ekvidistantní dělení intervalu [ - 1,1] a platí .
Z (5) dostáváme
a odtud
(6)
Lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo
Nyní ještě odvodíme tzv. lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo pro výpočet určitého integrálu.
Nechť , je ekvidistantní dělení intervalu [ a,b]. Označme , kde k je libovolné přirozené číslo, . Platí
Nahradíme-li každý integrál výrazem (viz (6), pro n = 1, , ), dostáváme
Po úpravě dostáváme tzv. lichoběžníkové pravidlo pro výpočet určitého integrálu
(7)
Předpokládejme nyní, že n je sudé číslo. Potom
Nahradíme-li výrazem (viz (6)), pro n = 2, , ), dostáváme
Odtud po úpravě dostáváme tzv. Simpsonovo pravidlo pro výpočet určitého integrálu