,Příklad 5: Sinusová přechodnice podle Kleina má nejpozvolnější odklon od tečny a nejplynulejší napojení na kružnicový oblouk. Byla odvozena Kleinem pro německé vysokorychlostní tratě. Její tvar je
,
kde L je délka tečny v inflexním bodě, R poloměr navazujícího kružnicového oblouku.
Spočtěte délku křivky
nahrazením integrované funkce prvními dvěmi členy binomického rozvoje
První derivace funkce je
Její hodnota v bodě L je
.
Délku oblouku přechodnice mezi bodem 0 a bodem L určíme aproximací integrálu prvními dvěma členy binomického rozvoje
kde
.
Potom
